Геометрия кубических уравнений. Лекция Сергея Львовского в Яндексе

Ещё из школьного курса алгебры все знают, как определить количество корней в квадратном уравнении. Оказывается, на аналогичный вопрос о кубическом уравнении проще всего ответить, перейдя от алгебры к геометрии, а решать само уравнение для этого вовсе не обязательно. Важная геометрическая конструкция, о которой пойдет речь на лекции, используется в математике и для других целей.

Начнем мы издалека, с квадратных уравнений. Возьмем простое уравнение: x²+px+q=0. Теперь определим, сколько у него корней в зависимости от p и q. Два корня у нас будет в том случае, если p²-4q>0. Если же p²-4q<0, то у нашего уравнения будет 0 корней. Ну и в промежуточном варианте p²-4q=0 будет один корень.

Теперь рассмотрим подобное кубическое уравнение: x³+ax²+bx+c=0. И поставим такой же вопрос: сколько корней будет у уравнения, в зависимости от a, b и c. Формула для корней кубического уравнения была открыта еще в XVI веке, однако понять с ее помощью, сколько у уравнения может быть корней, достаточно затруднительно, и сегодня мы ей пользоваться не будем. Мы постараемся узнать, сколько у уравнения корней, формулы для них не находя.



Прежде чем начинать, сделаем пару простых замечаний:

• Корней не больше трех, так как у любого уравнения степени n, корней может быть не больше, чем n.


• Ни одного корня у нас быть не может, т.к. если x >>0 (очень большое положительное число, то левая часть будет больше нуля.


• Соответственно, нам предстоит выяснить: одно у нас может быть решение, два или три.

Теперь немного упростим задачу. Проведем небольшое алгебраическое преобразование. Пусть x=y+e. Тогда у нас получается следующее уравнение: (y+e)³+a(y+e)(sup>2+b(y+e)+c=0. Приведем подобные. В левой части у нас получится многочлен от y с коэффициентами: y³+ (3e+a)y²+(…)y+(…)=0. Если 3e+a=0, т.е. e=-a/3, то уравнение принимает следующий вид: y³+p+q=0, где p и q выражаются через a, b и c. C учетом того, что мы произвели всего лишь сдвиг, количество корней у исходного и сдвинутого уравнений будет одинаково.

Итак, мы исследуем следующее уравнение: x³+px+q=0. Задача у нас остается прежней: понять, сколько корней может быть у этого уравнения для каждой пары p и q. Как известно, пары чисел – это точки на плоскости. Рассмотри плоскость с координатами p и q. Для каждого x рассмотрим такую прямую с уравнением x³+px+q=0 на этой плоскости. Если x=0, у нас будет прямая, проходящая прямо оси p. Если x=1, то p+q=-1. Если x=-1, то q=p+1. Если x=1/2, то q=1/8+p/2.

Прямые мы строили не просто так. Число корней нашего уравнения равняется числу наших прямых, проходящих через точку (p;q). Теперь у нас на плоскости есть семейство прямых, зависящих от одного параметра – x. И задача заключается в том, чтобы узнать, сколько прямых из этого семейства проходит через данную точку.

Двойственность

Рассмотрим плоскость с координатам p и q. Любая невертикальная прямая на ней задается уравнением q+kp+b=0. Значит, множество невертикальных прямых – это множество пар k и b.

Но множество пар k и b – это тоже плоскость, называемая двойственной к плоскости (p, q).

Если у нас есть плоскость (k, b), то на ней можно начертить и прямые. Но что это будут за прямые? Если точки на этой плоскости у нас являются прямыми на плоскости (p, q), а прямая – это совокупность точек, то прямые на плоскости (k, b) представляют собой множество прямых на плоскости (p, q). Составим уравнение: q+kp+b=0. Это означает, что прямая на плоскости (k, b) – это совокупное множество всех прямых, проходящих через точку (p;q) на плоскости (p, q). Из этого следует, что точки в плоскости (p, q) соответствуют прямым в плоскости (k, b).

Пусть у нас есть две точки a и b в плоскости (k, b). Через них можно провести прямую. На плоскости (p, q) этим точкам соответствуют прямые. А прямой, проходящей через точки a и b соответствует точка на плоскости (p, q), находящаяся на пересечении прямых, соответствующих точкам a и b на плоскости (k, b).

Досмотрев лекцию до конца, вы узнаете, как строятся двойственные кривые, а также как благодаря этому задача о корнях кубического уравнения решается методами геометрии.

This entry passed through the Full-Text RSS service — if this is your content and you're reading it on someone else's site, please read the FAQ at http://ift.tt/jcXqJW.