Магия тензорной алгебры: Часть 11 — Ускорение точки тела при свободном движении. Угловое ускорение твердого тела

1. Что такое тензор и для чего он нужен?
2. Векторные и тензорные операции. Ранги тензоров
3. Криволинейные координаты
4. Динамика точки в тензорном изложении
5. Действия над тензорами и некоторые другие теоретические вопросы
6. Кинематика свободного твердого тела. Природа угловой скорости
7. Конечный поворот твердого тела. Свойства тензора поворота и способ его вычисления
8. О свертках тензора Леви-Чивиты
9. Вывод тензора угловой скорости через параметры конечного поворота. Применяем голову и Maxima
10. Получаем вектор угловой скорости. Работаем над недочетами
11. Ускорение точки тела при свободном движении. Угловое ускорение твердого тела

Сегодня мы завершим построение тензорных соотношений, описывающих кинематику свободного твердого тела. Так получилось, что на протяжении достаточно большого количества статей мы заново построили часть основополагающего курса теоретической механики. Данные построения, несмотря на некоторую абстрактность, полезны и с методической точки зрения, и с точки зрения того, что применительно к механике, тензорный подход, как скальпель, вскрывает истинную природу привычных нам понятий, таких как законы движения материальных тел, скорость их точек, угловая скорость, угловое ускорение. Вот об угловом ускорении сегодня и пойдет речь.

Мы всё глубже увязаем в математической матрице...

В статье, посвященной тензорному описанию кинематики твердого тела мы получили, что компоненты скорости точки тела, совершающего свободное движение в связанной системе координат определяются соотношением

где — компоненты вектора скорости полюса в связанной системе координат; — тензор угловой скорости. Верхний индекс в скобках означает, что компоненты этого тензора представлены в связанной системе координат.

Чтобы получить ускорение, во-первых, перейдем в базовую систему координат — дифференцирование в ней будет выполнять намного проще. Но так как преобразование поворота задано у нас для контравариантных компонент векторов, прежде всего поднимем индексы в (1)

а уже потом, применим к (2) прямое преобразование поворота

и теперь продифференцируем (3) по времени и получим выражение контравариантных компонент ускорения точки тела

где — контравариантные компоненты ускорения полюса в базовой системе координат

Для интерпретации результата придем к тому от чего начинали путь — к связанной системе координат и ковариантным компонентам

Последнее выражение в цепочке преобразований содержит множитель

— тензор угловой скорости, поэтому

— конвариантные компоненты ускорения точки M твердого тела при свободном движении. Теперь постараемся вникнуть в смысл составляющих ускорения (5). Во-первых рассмотрим последнее слагаемое, тензор угловой скорости в котором можно расписать через псевдовектор угловой скорости

и, совершенно очевидно, что производная от тензор угловой скорости представляется через некоторый псевдовектор , равный производной по времени от псевдовектора угловой скорости

Из курса теоретической механики известно, что производная от угловой скорости называется угловым ускорением тела. Значит (7) — угловое ускорение. Обычно угловое ускорение принято обозначать другой буквой, которая в LaTeX-нотации записывается как \varepsilon. Но это обозначение у нас «утащил» тензор Леви-Чивиты, поэтому будем использовать символ \epsilon который выглядит не слишком впечатляюще, но не менять же нам систему обозначений из-за подобной мелочи?

Исходя из вышесказанного делаем вывод, что производная по времени от тензора угловой скорости есть антисимметричный тензор углового ускорения

для обозначения которого возьмем букву \xi, стилистически напоминающую \varepsilon. Исходя из (8), последнее слагаемое (5) эквивалентно

или, в векторном виде

где называют вращательным ускорением точки тела.

Теперь обратимся ко второму слагаемому (5). В нем распишем тензор угловой скорости через псевдовектор

Здесь мы видим двойное векторное произведение. Действительно, ведь

контравариантное представление вектора скорости точки M относительное полюса, которое участвует в последующем векторном умножении на угловую скорость слева. То есть, второе слагаемое — это осестремительное ускорение точки тела

таким образом мы получили известную из курса теоретической механики формулу

Ускорение точки тела при свободном движении равно геометрической сумме ускорения полюса, вращательного ускорения точки вокруг полюса и осестремительного ускорения точки вокруг полюса

Ну и, наконец, первое слагаемое в (5) можно расписать через криволинейные координаты полюса, как это делалось в статье, посвященной кинематике и динамике материальной точки

и мы получаем, в самой общей форме, ускорение точки тела при свободном движении

Ускорение (10) представлено в собственной (связанной с телом) системе координат. Данное выражение носит самый общий характер, а подход, с помощью которого мы к нему пришли позволяет нам выяснить истинную природу и соотношения между привычными нам кинематическими параметрами движения. В этом теоретическое значение (10).

Практическое значение полученной формулы таково, что оно ещё на один шаг приближает нас к получению уравнений движения твердого тела в обобщенных координатах.

Для начала вычислим тензор углового ускорения

Таким образом тензор углового ускорения определяется уже и второй производной тензора поворота. С другой стороны, пользуясь определением тензора углового ускорения (6), мы можем получить выражение для псевдовектора углового ускорения

Ну и, подставляя (12) в (11) мы получаем окончательно

Выражение (13) выглядит эффектно, и может быть использовано, например для того, чтобы выразить проекции углового ускорения на собственные оси через углы ориентации твердого тела (Эйлера, Крылова, самолетные углы и т.д.). Но по большей части оно носит теоретический характер — да, вот, смотрите, как угловое ускорение связанно с матрицей поворота.

Если же мы попытаемся получить псевдовектор углового ускорения через параметры конечного поворота, пользуясь (13), то этот путь сложно будет назвать оптимальным. Помните, сколько мы провозились с тензором угловой скорости? То-то же! А здесь можно, в принципе, обойтись и без СКА, достаточно обратится к формуле (7) и материалу статьи о псевдовекторе угловой скорости

Согласно (7) нам достаточно только продифференцировать псевдовектор угловой скорости, который выражается через параметры конечного поворота следующим образом

и мы получим угловое ускорение. Это можно выполнить и вручную

Выражение (15) можно слегка упростить. Во-первых, его второе слагаемое равно нулю, так как содержит свертку тензора Леви-Чивиты с одним и тем же вектором по двум индексам, что эквивалентно . Во-вторых, можно привести подобные слагаемые, и мы получаем окончательное выражение

Теперь, пользуясь (8) от (16) можно перейти и к тензору углового ускорения, но мы этого не будем делать. Действия которые надо выполнить тривиальны, получаемое выражение будет достаточно громоздко. Для практических целей нам достаточно и формулы (16).

Если ось вращения не меняет направления, то производные орта оси вращения обращаются в нуль. Такое возможно при вращении вокруг неподвижной оси и при плоскопараллельном движении. Тогда вектор углового ускорения выглядит тривиально

что дает то определение вектора углового ускорения, которым преподаватели теормеха (в том числе и я), потчуют студентов. Кроме того, из последней формулы хорошо видно, что направление этого вектора непосредственно зависит от ориентации базиса системы координат, а значит и положительного направления поворота в ней. Это хорошо иллюстрирует тот факт, что вектор углового ускорения — псевдовектор.

Формулы (10), (14) и (16) являются последними соотношениями, которыми замыкается построение кинематики твердого тела в произвольных координатах. Мы прошли большой путь — пользуясь аппаратом тензорного исчисления заново построили всю кинематику твердого тела.

Но мы не коснулись главного — каким образом удобно задавать положение тела в пространстве, какие выбрать параметры? Как связать эти параметры с кинематическими характеристиками движения твердого тела?

Казалось бы, чем плохи параметры конечного поворота? Они плохи тем, что вырождаются при значении угла поворота равном нулю. Вспомним, как задается тензор поворота

Обнулив в этом выражении угол поворота мы придем к выражению

Мы получили что тензор поворота представляется единичной матрицей. Что в это плохого, нет поворота, тождественное преобразование? Плохо то, что из такого тензора поворота невозможно получить компоненты орта оси вращения. При интегрировании динамических уравнений движения такой фокус приведет к обрушению численной процедуры.

Для построения моделирующих систем необходимо брать параметры не претерпевающие вырождения. К таковым можно отнести сам компоненты тензора поворота, но их девять. Плюс три координаты полюса. Итого — 12 параметров, характеризующих положение тела в пространстве. А число степеней свободы твердого тела — шесть. Таким образом шесть компонент тензора поворота являются зависимыми величинами, что раздувает порядок системы уравнений движения ровно в два раза.

Исходя из этого соображения, параметры конечного поворота более выгодны — их четыре. И есть лишь одно уравнение связи

и если бы не вырождение при их можно было бы использовать.

Однако, невырождающиеся параметры, с помощью которых можно описать ориентацию твердого тела в пространстве есть, и они непосредственно связаны с параметрами конечного поворота. Это параметры Родрига-Гамильтона, о которых мы поговорим в следующей статье.

При подготовке данной статьи, для ввода формул, использован ресурс, созданный пользователем parpalak. В связи с этим хочу поблагодарить его за создание и поддержку такого полезного сервиса.

Ну и, традиционно, благодарю за внимание своих читателей!

Продолжение следует...

This entry passed through the Full-Text RSS service - if this is your content and you're reading it on someone else's site, please read the FAQ at http://ift.tt/jcXqJW.