Описание
Указанный ниже метод позволяет осуществлять эффективное преобразование цифровых последовательностей любой размерности, что в свою очередь применимо в области обработки цифровой информации. Ниже рассмотрено два вычислительных способа:
- Преобразование объемной последовательности чисел с выражением значения в компактном виде,
- Обратное преобразование компактной последовательности в объемную.
Улучшение данного метода и имплементация его в коде, вкупе с эффективной реализацией алгоритма, позволяет применять данный способ на практике, являясь конкурентом существующих методов обработки и хранения информации, превышающий эффективность существующих конкурентов в несколько раз.
Существующая проблема
Любая цифровая информация является набором чисел, т.е. числовой последовательностью, которая обладает свойствами энтропии и каждый символ этой последовательности несет в себе точку перехода в другие состоянии. Данные точки ограничены и определяются пределом Шеннона, который предполагает конечные состояния для символов информации. Достигая предела Шеннона, количество комбинаций эффективных сокращений последовательности резко снижается, превращая поток информации в «шум».
Существующие математические методы основаны на использовании словаря для поиска вариантов сокращения последовательностей: имплементация обучаемых нейросетей, которые в ходе обучения строят свои «словари» (базы знаний), либо используется арифметическое кодирование, где каждый символ является носителем «частоты» появления. Словарные и нейросетевые методы работы с числовыми последовательностям близкими к пределу Шеннона показывают свою крайнюю неэффективность.
Согласно теории Шеннона, случайная независимая равновероятная последовательность сжатию без потерь не поддаётся. Предложенный метод не конфликтует с существующей теорией, т.к. является методом выражения сложных, объемных последовательностей без использования частот и словарей.
В случае с описываемым ниже методом, цифровая последовательность выражается в виде многомерной функции представления:
Отдельным элементом последовательности является «счет». Следовательно, χ(n1,n2) будет являться «счетом последовательности» χ в области (n1,n2). Значение «счетов» могут быть вещественные и комплексные.
Преобразование цифровых последовательностей
Учитывая, что последовательности представлены в виде многомерных функций представления, к ним применимы различные способы математических преобразований.
Далее будет рассматриваться работа с цифровым изображением на примере реализации модели для работы с изображениями.
Выражение матрицы из модели представления
В ходе преобразования матрицы последовательности ∫(z,v) размером Z×Z образуется матрица преобразованной последовательности меньшего размера, элементы которой равны
где φ(zu,zv)(z,v) само преобразование, а zu,zv – переменные пространства для преобразования.
Восстановление исходной матрицы по модели представления
Исходную матрицу f(z,v) можно получить с помощью обратного преобразования
где φ((z,v))^(-1) (zu,zv) – обратное преобразование.
Преобразование является завершенным и полным, если выполняются следующие условия для исходной матрицы:
где
есть многомерный вариант символа Кронекера.
Последовательность для работы формируется из исходного значения, представляет из себя набор преобразованных значений, сформированных «формулой-смешивания» поиска целочисленных значений. За основу берется минимальная последовательность длинной в 200 знаков, где данная последовательность делится на 10 равных частей по 20 знаков, которая является рядом для проверки сходимости.
Каждая часть последовательности формирует матрицу с соответствующей размерностью.
Каждая матрица формирует группу из 200-т значений, которая обладает «общим свойством», оно задается при преобразовании всей группы. Преобразование выполняется по следующему алгоритму:
- Считается сумма всего ряда исходного значения:
- Каждый элемент матрицы умножается на константу a, где a = 40829.
Если числовая последовательность не сходится с первичной, то необходимо менять «seed» для всей последовательности во избежание ошибок; «seed» задается для всего ряда, в п.1 меняется способ вычисления ряда на следующий:
Вычисленный «seed» восстанавливает исходную последовательность с помощью формулы обратного преобразования, которая указана несколькими параграфами выше.
Если f(z,v) – матрица Z× Z, а R(zu,zv) – его коэффициенты представления, то справедливо равенство:
Указанное выше выражение является равенством Парсеваля для представления многомерных функций. Использование данного утверждения позволяет в несколько раз сократить вычислительные затраты при преобразовании модели изображений.
Сама матрица коэффициентов считается при помощи одномерного преобразования (интегральный случай):
Полученное выражение является одномерным «счетом» выражения.
В случае возникновения ошибки и нарушения равенства Парсеваля, необходимо ввести корректирующие правки в столбец матрицы с ошибкой
Статьи, которые оказали существенное влияние на описываемые исследования:
Комментариев нет:
Отправить комментарий